6. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) - \frac{1}{n}A\left(\frac{1}{n}\right) = A\left(\frac{1}{n}\right).$

Se consideră matricele $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}5 & 2 \\ -5 & -3\end{array}\right)$ și $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -5 & -5\end{array}\right)$. Arătați că $\displaystyle \operatorname{det} A=-5$.

Arătați că $\displaystyle A \cdot B=5 I_{2}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \operatorname{det}\left(A-x I_{2}\right)=10$.

Arătați că suma elementelor matricei $\displaystyle A^{-1}$ este egală cu $\displaystyle -1$, unde $\displaystyle A^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle B \cdot X=20 I_{2}$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot (B-I_2) - (A \cdot A - I_2) \cdot B = x(B-A)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = 2x A - I_2$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = 8$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 8I_2$.

3. Demonstrați că matricea $\displaystyle B(x)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(\frac{1}{2}) = 9I_2$.

5. Arătați că $\displaystyle xB(x)-yB(y) = (x-y)B(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați numărul întreg $\displaystyle k$ pentru care $\displaystyle B(1)-2B(2)+3B(3)-\dots-20B(20)=kB(21)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & -a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

Pentru $\displaystyle a = 3$ și $\displaystyle b = -1$, calculați $\displaystyle 3A - 2B$.

Pentru $\displaystyle a = -3$ și $\displaystyle b = 2$, arătați că $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle B \cdot B = I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Arătați că $\displaystyle \det(A - B) = 1 - (a - b)^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

Arătați că, dacă numărul $\displaystyle a$ este cu $\displaystyle 5$ mai mare decât numărul $\displaystyle b$, atunci $\displaystyle \det(A \cdot B + B \cdot A) = 0$.

1. Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x & 1 \\ -1 & x+y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. Arătați că $\displaystyle \det(A(-1,3))=-1$.