Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=9$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle A(0) \cdot A(2021) = 3A(2021)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle A(a-1)+A(a+1)=2A(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ și $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = 3A(3)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a^2) - 2A(a) + A(1) = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul întreg $\displaystyle k$ pentru care $\displaystyle \det(A(k) \cdot A(k)) \leq 36$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} x & 3 \\ 1 & x-2 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real. 5p 1. Arătați că $\displaystyle \det A = -3$.

5p 2. Arătați că $\displaystyle A+M(6) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$.

5p 3. Arătați că $\displaystyle \det (M(x)) = x(x-1)(x-3)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

5p 4. Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det (A+M(2)) = 9-a^2$.

5p 5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(x) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$.

5p 6. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle M(n) + M(n+1) + M(n+2) = 3M(2022)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2a \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -22.$

2. Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(1) - 3A(1) = 4I_2.$

3. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)) = -52.$

4. Arătați că $\displaystyle A(a) - (a-1)A(0) = (a-1)A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a.$

5. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(m)+A(1)) = 2.$