Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & 2b \ -b & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1))=3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a,b)\cdot A(b,a))=(a^2+b^2)^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(m,n))=1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & -3x \\ 0 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(-x) + B(x) = A$.

c) Rezolvați în $\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle B(1) \cdot X = A$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ a^2+1 & a^2+2 & a^2+3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care inversa matricei $\displaystyle A(a)$ are toate elementele numere întregi.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 12+a & a \\ 1+a & 3+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=36$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)-(12+a)I_2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle X \cdot A(0)=A(0)$. Arătați că cel puțin un element al matricei $\displaystyle X$ este număr irațional.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=2$.

b) Arătați că $\displaystyle 3A-A\cdot A = 2I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (xA-I_2)(xA-I_2) = 5A-I_2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1+lnx \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = A(xy)$ pentru orice $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A\left(\frac{1}{3}\right) A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A - A^2) = a^2b^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

b) Se consideră matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle t$ astfel încât $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix}$.

c) Pentru $\displaystyle a=4$ și $\displaystyle b=0$, determinați matricele $\displaystyle Y \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle Y \cdot Y = A$.