Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A-B)=-1$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle C = A \cdot A + B \cdot B$ nu este inversabilă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle X \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricile $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x,y) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & -1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = B+xI_2$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix} x-1 & 1 \ x-1 & -1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ şi $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = A - xI_2$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 4 & a & 1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax+2y+z=4 \\ 4x+ay+z=6 \\ x-y+az=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.