a) Arătați că $\displaystyle \det(A(e)) = e$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a^2)) = (\det(A(a)))^2$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

c) Determinați numerele $\displaystyle a, b \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle A(a)+A(b)=2A(a) \cdot A(b)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -4$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ pentru care $\displaystyle x_0 = y_0 = z_0$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care tripletul $\displaystyle (-1,0,1)$ este soluție a sistemului de ecuații.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.

c) Determinați numerele $\displaystyle m \in \mathbb{Z} \setminus \{-7,2\}$, pentru care sistemul de ecuații admite soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, cu $\displaystyle x_0 \cdot y_0 \cdot z_0 \in \mathbb{Z}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A \cdot A - A = aI_2$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m\neq n$, pentru care $\displaystyle \det(A+mI_2)=\det(A+nI_2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(a) \cdot A(a) = A(0)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle A(-1) \cdot X = A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=1$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b)=A(ab)$, pentru orice $\displaystyle a,b \in (0,+\infty)$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$, astfel încât $\displaystyle A(a) \cdot A(a) \cdot A(a)=\begin{pmatrix} 1 & 2020 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a+2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=-2$, determinați inversa matricei $\displaystyle A(-2)$.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, rezolvați sistemul de ecuații.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)) = 6^x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle A(x) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot A(x)$.

c) Demonstrați că, orice matrice $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X \cdot A(x) = A(x) \cdot X$ pentru două elemente numere iraționale, este de forma $\displaystyle \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, pentru $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 4$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = 2A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ și numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(2) \cdot \dots \cdot A(n) = 2^x A(15)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(2)+xI_2)=0$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(b) \cdot A(a)$, atunci $\displaystyle a=b$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2,3))=0$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in\mathbb{Q}$ și $\displaystyle b\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b)$ este inversabilă.

c) Determinați matricea $\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(-1,\sqrt{2})\cdot X=A(0,0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=18$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, rezolvați sistemul de ecuații.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că sistemul de ecuații are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(10)) = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)-A(b) = (a-b)(A(1)-A(0))$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(2)) + \det(A(3)) + \dots + \det(A(n)) = 35$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b-6ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(n)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(-a) + a^2 \cdot I_2 = M$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle M \cdot X = A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(a+b)$ pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot X = M(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \operatorname{det}(A(1))=-5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=2 A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(x)=10 I_{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A \cdot A = A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A \cdot X = I_2 + 3A$.