Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 3 \\ -3 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=x^2+9$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(2020-x)+A(2020+x)=2A(2020)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n)A(n)-2A(n)=6I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 4 & -6 \ 2 & -3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x)=I_2+xA$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (m,n)$ pentru care $\displaystyle M(m)M(n)=M(6)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+x & x \\ 2x & 1+2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = A(x+y+3xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a)A(a)=A(5)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = A + xB$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y) = M(y)M(x)$ dacă și numai dacă $\displaystyle x = y$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m,n)$ pentru care $\displaystyle M(m^2+1)M(n^2+1) = M((n^2+1)(m^2+1))$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay=1 \\ 2x+y+az=4 \\ -3x-y+z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real și $\displaystyle A(a)$ matricea coeficienților sistemului.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=-1$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluția sistemului de ecuații.

c) Demonstrați că, pentru orice număr rațional $\displaystyle p$, matricea $\displaystyle A(p)$ este inversabilă pentru orice număr rațional $\displaystyle p$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x,y)=xI_2+yA$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x,y)\cdot M(a,b)=M(xa+yb,xb+ya)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (x,y)$ de numere reale, știind că $\displaystyle \det(M(x,y))=4$ și suma elementelor matricei $\displaystyle M(x,y)\cdot M(x,y)$ este egală cu $\displaystyle 8$.