Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 3. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det (M(x)) = 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 4. Arătați că $\displaystyle M(x) \cdot M(y) = M(y) \cdot M(x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x) \cdot M(-x) = M(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 6. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suma numerelor întregi $\displaystyle x$ care verifică inegalitatea $\displaystyle \det (nM(x)-xM(n)) \leq n^2$ este egală cu $\displaystyle 36$.

Arătați că $\displaystyle \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}^{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}^{2}\right)^{2} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}^{2}\right)^{3} + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}^{2}\right)^{4} = \frac{31}{16}$

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \ 3 & 0 \\ \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 4 & 1 \\ \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A \cdot X = A+2I_2$.

Arătați că $\displaystyle A\cdot A - A = -3A$.

Determinați matricele reale $\displaystyle X$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot M(x,y) = A$.

Demonstrați că, dacă $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere întregi pentru care $\displaystyle M(m,-n) \cdot M(-n,-m) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, atunci $\displaystyle N=m-n$ este pătratul unui număr natural.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ a-1 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(A(a)) = 0$.

Arătați că $\displaystyle (2a+1)A(a) - A(a) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} a^2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Demonstrați că $\displaystyle A(5a-1)A - A(5a+1)A = 2A(5a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care care deținet (\det(A(a))<0).

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle n(n+1)$ este par, de asemenea numerele naturale nenule $\displaystyle n$ și $\displaystyle n+1$ sunt consecutive, deci determinant (\det(A(n))) este par.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = aA + I_2$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 4A + 5I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

3. Calculați $\displaystyle M(1) \cdot M(-1)$.

4. Arătați că $\displaystyle M(a) \cdot M(1) + M(a) \cdot M(-1) = 2M(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.