Se consideră matricele $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -5$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(aA(a)) = 0$.

Arătați că $\displaystyle \det(A(a) - B \cdot B - A(a)) = -9$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Arătați că $\displaystyle A(a-1) + A(a+1) = 2A(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \det(A(a)+B) = a$.

Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1) + A(2) + \dots + A(n) = 11A(6)$.

Se consideră matricele $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a^2 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real pozitiv. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

2. Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

3. Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(1) - 2A(1) = O_2$.

4. Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(\sqrt{2}) \cdot A(a) = 3A(1)$.

5. Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)-A(0)) \ge 0$, pentru orice număr real pozitiv $\displaystyle a$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere reale pozitive, știind că $\displaystyle A(\sqrt{a}) \cdot A(\sqrt{b}) = A(2) + \frac{1}{2} A(a)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x) = xI_2 + A$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(M(x)) = 16$.

Arătați că $\displaystyle M(-1) + M(0) + M(1) = 3A$.

Demonstrați că $\displaystyle M(x) \cdot M(y) = xyI_2 + (x+y)A$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(M(x) - xA) \le 3x-2$.

Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle M(1)+M(2)+...+M(n) = 9M(5)$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 1. Arătați că $\displaystyle \det (M(2)) = -5$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 2. Demonstrați că $\displaystyle M(x)+M(x+2) = 2M(x+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.