Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, pentru care det($\displaystyle B otin (B otin x_2)$) = $\displaystyle x^2+16x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

De unde obținem $\displaystyle p=1$ și $\displaystyle q=-4$, care convine.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle det(M(0)) = 1$.

Calculați $\displaystyle M(1)-M(3)-M(5)$

Calculați $\displaystyle A \cdot A$.

Determinați mulțimea valorilor lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle det(M(x^2)) < 5$.

Demonstrați că $\displaystyle M(x) M(y) = M(xy+x+y)$.

Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle M(m+n+mn)=2 M(m) < M(n)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ x & y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(0,0))=0$.

2. Calculați $\displaystyle A(0,0)\cdot A(1,1)$.

3. Arătați că $\displaystyle \det(A(x,y)) + \det(A(y,x)) = 0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,y) = 2A(x,y)$.

5. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1,1)+A(2,2)+...+A(n,n) = nA(4,4)$.

6. Determinați numărul perechilor de numere naturale $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care suma elementelor matricei $\displaystyle A(m,n)$ este egală cu 102.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = -6$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot B = I_2$, unde matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \end{pmatrix}$.

3. Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 4A = 6I_2$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle \det(A - xI_2) = -1$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A \cdot A - A = aA + 24I_2$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & b \end{pmatrix}$.