Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(4) - A(2) \cdot A(3) = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A(2) \cdot X = A(0)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 9 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2 & x \\ 2x & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = -18$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot B(0) - B(0) \cdot A = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$.

3. Arătați că $\displaystyle \det(B(x)) = (2-x)(x+4)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Arătați că $\displaystyle \det(A+B(2)) < \det A + \det(B(2))$.

5. Demonstrați că $\displaystyle B(x) \cdot B(y) = B(y) \cdot B(x)$ dacă și numai dacă $\displaystyle x=y$.

6. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle B(1) + B(2) + B(3) + \dots + B(n) = \begin{pmatrix} 200 & 5050 \\ 5250 & 400 \end{pmatrix}$.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calculați $\displaystyle \det A$.

2. Arătați că $\displaystyle A^2-2A+I_2 = O_2$, unde $\displaystyle A^2=A \cdot A$.

3. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det((m-1)A) = m+1$.

4. Arătați că $\displaystyle A \cdot B = I_2$.

5. Demonstrați că, dacă $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$, atunci $\displaystyle X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle xA+yB = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$.

Arătați că determinantul matricei $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$ este 0.

Calculați determinantul matricei $\displaystyle A+B$, unde $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ -6 & 7 \end{pmatrix}$.

Calculați produsul matricelor $\displaystyle A \cdot A$, unde $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculați determinantul matricei $\displaystyle A-B \cdot A$, unde $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \ -2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.