Demonstrați că există o infinitate de perechi de numere reale $\displaystyle (x,y)$ pentru care $\displaystyle A(-3) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2y \\ 2x+y \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & x \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B+C=A$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B-C)=0$.

4. Demonstrați că $\displaystyle \det(B \cdot C - C \cdot B) = 3x(x-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

5. Pentru $\displaystyle x=1$, arătați că inversa matricei $\displaystyle B$ este matricea $\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1/3 \\ 1 & -2/3 \end{pmatrix}$.

6. Pentru $\displaystyle x=1$, rezolvați în $\displaystyle M_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle B \cdot X \cdot C = A$.

1. Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

2. Arătați că $\displaystyle A \cdot A - B = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

3. Demonstrați că $\displaystyle \det (A \cdot B - I_2) = \det (B \cdot A - I_2)$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle B - A + xI_2 = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$.

5. Demonstrați că $\displaystyle \det (I_2 + aA) + \det (I_2 - aA) = 2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

6. Rezolvați în $\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle (I_2 - A) \cdot X = A$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle C(x) \cdot B(x) = A$.

3. Arătați că $\displaystyle C(x) \cdot B(x) - B(x) \cdot C(x) = \begin{pmatrix} 0 & x^2 \\ -2x & 0 \end{pmatrix}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Pentru $\displaystyle x=0$, determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot B(x) = A \cdot C(x)$.

5. Demonstrați că, pentru orice număr întreg $\displaystyle x$, matricea $\displaystyle C(x)$ este inversabilă.

6. Determinați numerele naturale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x) + C(x)) > 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 5^{a} \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det\left(A(3)\right) = 125$.