a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr rațional $\displaystyle q$, matricea $\displaystyle A(q)$ este inversabilă.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B(a)=A(a)-A(-a)$. Determinați numerele raționale $\displaystyle p$ pentru care $\displaystyle B(p)B(p)B(p)+5B(p)=O_3$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=5$.

b) Determinaţi mulţimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuaţii este compatibil determinat.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$, ştiind că sistemul de ecuaţii are soluţie unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ şi $\displaystyle x_0+y_0+z_0=0$, în această ordine, termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 7$.

b) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$, pentru orice număr întreg $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care inversa matricei $\displaystyle A(m)$ (notată $\displaystyle A^{-1}(m)$) are toate elementele numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ nu este inversabilă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care există $\displaystyle y_0$ și $\displaystyle z_0$, numere reale, astfel încât $\displaystyle (2,y_0,z_0)$ să fie soluție a sistemului de ecuații.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Calculați $\displaystyle A(0) \cdot A(0) \cdot \ldots \cdot A(0)$ de $\displaystyle 2020$ ori $\displaystyle A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -15$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care rangul matricei $\displaystyle A(a)$ nu este egal cu 3.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle M=A(-1) \cdot A(-1) - A(-1)$ are toate elementele numere întregi, divizibile cu 25.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele necoliniare $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(m,m^2)$ și $\displaystyle C(m+1,(m+1)^2)$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle m$, știind că triunghiul $\displaystyle ABC$ are aria egală cu $\displaystyle 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, rangul matricei $\displaystyle M(m)$ este diferit de $\displaystyle 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \ne 1$, știind că inversa matricei $\displaystyle M(m)$ este matricea $\displaystyle A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Se consideră matricea $\displaystyle B(a)=A(a)-I_3$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle B(a)\cdot B(a)\cdot B(a)=O_3$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suma elementelor matricei $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle A(2)\cdot X=A(1)+A(2)+\ldots+A(n)$ este egală cu $\displaystyle 21$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 0$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle I_3 - \frac{1}{11}A$ este inversa matricei $\displaystyle B$.

c) Dați exemplu de trei matrice $\displaystyle U, V, T \in M_3(\mathbb{R})$, de rang 1, astfel încât $\displaystyle U+V+T = B$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(m))=m-9$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de $\displaystyle (0,0,0)$.

c) Pentru $\displaystyle m=9$, se consideră $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ o soluție a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale astfel încât $\displaystyle (x_0,y_0,z_0) \neq (0,0,0)$. Calculaţi $\displaystyle \frac{x_0^2+y_0^2-z_0^2}{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A) = 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați rangul matricei $\displaystyle B = A(1) \cdot A(2) - A(3) - I_3$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Demonstrați că, pentru $\displaystyle m=-3$, sistemul de ecuații nu are soluții.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, sistemul de ecuații are cel mult o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=2$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$, soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații verifică relația $\displaystyle \frac{y_0}{z_0}=x_0$.