Se consideră determinantul $\displaystyle D(a,b)=\begin{vmatrix} a & 2 & b \\ a & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Calculați $\displaystyle D(0,1)$.

b) Arătați că $\displaystyle D(a,1) \geq 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă numerele $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt întregi impare, atunci $\displaystyle D(m,n) \neq 0$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & -x \\ 1 & x & 1 \\ -x & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(-x)+A(x)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)A(y)-A(2xy))=0$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle A(1)A(\frac{1}{2})+A(2)A(\frac{1}{4})+...+A(2019)A(\frac{1}{4038})=mI_3$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & 2 \\ 1 & 2-x & 3 \\ 1 & 2 & x \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle D(1)=5$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr întreg $\displaystyle p$, $\displaystyle p \neq 6$, numărul $\displaystyle D(p)$ este divizibil cu $\displaystyle 6-p$.

c) Determinați valoarea maximă pe care o poate lua $\displaystyle D(n)$, atunci când $\displaystyle n$ este număr natural.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 0 & x+1 \\ x-1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle B(1)+B(3)=2B(2)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(x) = B(x)$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \ a & 3 & 5 \ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle D(0)=-5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle D(a)=12(a-5)+(a-1)(a-2)$ pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele intregi $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(a)<3a-3$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1-x & 1-y \ x+y & 1+x+y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle M(-1)+M(1)=2M(0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x) cdot M(y)=M(x+y)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & a & 4 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y+az=2 \\ 2x+ay+4z=3 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(3-a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} x+1 & 0 & x+2 \\ 0 & x & 0 \\ 3-x & 0 & 4-x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(M(-1))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x) + M(y) = M(0) + M(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, ştiind că suma elementelor matricei $\displaystyle M(m) \cdot M(1)$ este egală cu suma elementelor matricei $\displaystyle M(1) \cdot M(n)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ x-1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(2xy-x-y+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(a) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) = A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(a)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 - a \\ 0 & 1 & 2a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(3) \cdot X = A(5)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & -2a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2a & -2a^2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle A(n)=A(1)A(2)A(3)...A(2020)$, atunci numărul natural $\displaystyle n$ este multiplu de 2021.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 0 & 2-a \\ 0 & 2 & 0 \\ 2-a & 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=8$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab-a-b+2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle A(p)A(q)=4I_3$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)A(y) - A(2xy))$ = 0, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1)A\left(\frac{1}{2}\right) + A(2)A\left(\frac{1}{4}\right) + \dots + A(10)A\left(\frac{1}{2020}\right) = nI_3$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 2 & a & 4 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+2y+z = 3 \\ 2x+y+az = 3 \\ 2x+ay+4z = a+3 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(a-1)(a-4)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că nu există niciun număr real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(1) = A(4) \cdot A(a) - A(1)$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$, pentru care sistemul de ecuații are soluția unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0$ și $\displaystyle z_0$ numere întregi.