Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2x \\ -2x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)+A(0))=8$.

c) Știind că $\displaystyle \det(m A(n)+n A(m))=\det(m n A(1))+\det(n m A(1))+18$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$, $\displaystyle n$, determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, $\displaystyle m<n$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle 5A - 3B = \begin{pmatrix} 0 & 7 \\ 2 & 16 \end{pmatrix}$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle B$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle xA \cdot A - 8A = yI_2$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & m & -1 \\ m & 1 & 3 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+2y+4z = 5 \\ -x+my-z = -2 \\ mx+y+3z = 4 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0)) = 3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle m=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2 = (x_0+z_0)^2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 3 & 2a-1 & 1 \\ a-3 & a & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+ay+z=1 \\ 3x+(2a-1)y+z=1 \\ (a-3)x+ay+z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=-5$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=0$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinaţi soluţiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=x_0^2+y_0^2+z_0^2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1)) = 2$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n-1,0) + A(n+1,0) = A(2018,0)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că există un număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x,1) \cdot A(x,1) = A(a,-2)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle R=A(\log_2 3) \cdot A(\log_3 4) \cdot A(\log_4 5) \cdot \ldots \cdot A(\log_{15} 16)$ are toate elementele numere întregi.