a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle M(1)$.

b) Calculați $\displaystyle M(x) = M(2018) - M(-2018)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+2x+3$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = s(x+a)^2+s(x+a)$. Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Determinați matricea $\displaystyle A-6I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați polinomul $\displaystyle f(x) = x^3 + MX-6$ unde $\displaystyle M$ este număr real.

a) Determinați $\displaystyle x_1, x_2, x_3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2 = -2m$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle f(x+1) = (x+p)(x+q)X + q$ cu $\displaystyle p=-1, q=-6$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(-1))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(M(a))=0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ știind că sistemul este soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle 2x_0+y_0=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(3, 1)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(a, b) \cdot X(c, d) = X(ac + 9bd, ad + bc)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, c, d$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m, n)$ pentru care $\displaystyle \det(X(m, n)) = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det (A(2))=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(y)=3I_2$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle p$ pentru care $\displaystyle \det(A(p) \cdot A(p)+I_2)=5$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(-1))=12$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(X(a))=0$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,4)$, $\displaystyle B(3,9)$ și $\displaystyle C(a,a^2)$, unde $\displaystyle a$ este număr natural. Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle ABC$ este triunghi și are aria mai mică decât $\displaystyle 3$.

a) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați inversa matricei $\displaystyle M(x)$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

c) Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle x$ pentru care are loc egalitatea $\displaystyle M(\sqrt{x})M(\sqrt{x+5})=M(5)$.

a) Arătați că $\displaystyle D(-2)=16$.

b) Demonstrați că $\displaystyle D(x)=x(x+1)(6-x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(\sqrt{a})=0$.

a) Arătați că $\displaystyle M(1)+M(3)=2M(2)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(m) \cdot M(n)=M(m+n-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle M(x) \cdot M(x)=M(x^2-1)$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(1-x)=2A\left(\frac{1}{2}\right)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(1-x)=A\left(\frac{1}{2}\right)$.