a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = xA + yI_3$.

c) Determinați inversa matricei $\displaystyle B = A + I_3$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) + A(-m) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(5)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle m$, ştiind că $\displaystyle \det(M(m))=0$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, demonstrați că, dacă $\displaystyle (a,b,c)$ este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre numerele $\displaystyle a, b$ şi $\displaystyle c$ este întreg.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-7$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(y)-A(x)=(y-x)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle (A(a-1)+A(a))A(0)=(A^2(a)+7)I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 16$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B = xI_2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det \left( A + \frac{1}{x} B \right) \ge 49$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(1))=-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(-a)+X(a)=X(2018)+X(-2018)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați perechile de numere reale $\displaystyle (a,b)$ pentru care $\displaystyle X(a)X(b)=X(a)X(b)$.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Calculați produsul $\displaystyle A \cdot B$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X$ pentru care $\displaystyle A \times X = B$, unde $\displaystyle X eq 0$.

Notă: În subiectul dat, litera 'x' apare în enunțul subpunctului b) ca factor pentru matricea B, dar nu este folosită în calculul din barem. Vom presupune că 'x' din enunțul subiectului este o eroare de tipar și vom proceda conform baremului, unde se calculează $\displaystyle A \times B$ direct.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(1)A(2)A(3)...A(10) = A(m^2+m+17)$.