Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2x+5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-2))=-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)+A(-x)=A(2017)+A(-2017)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$, pentru care $\displaystyle A(0) \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -13$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B - xI_2) = 0$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & x \\ 0 & x & 0 \\ x & 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = x y I_3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle \det(A(n)A(n) + A(n) + I_3)$ este pătratul unui număr natural.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2^x & 4^x \\ 1 & x & 2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)) = (2^x-1)(2^x-x-x\cdot 2^x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că $\displaystyle A(1) + A(2) + A(3) + \dots + A(2017) = \begin{pmatrix} 2017 & 2017 & 2017 \\ 2017 & 2(2^{2017}-1) & \frac{4(4^{2017}-1)}{3} \\ 2017 & 2017 \cdot 1009 & 2017 \cdot 2018 \end{pmatrix}$.

Se considera matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} x+1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A(0)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle A(x) + A(2x) = 2A(2)$.

c) Punctele $\displaystyle M(n,n+1)$, $\displaystyle N(2,n)$ și $\displaystyle P(3,0)$ sunt coliniare.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(B-A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -12 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle A \cdot X = B$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & a-1 \\ 0 & 1 & 0 \\ a-1 & 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(0)+A(2)$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Arătați că $\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)A\left(\frac{3}{2}\right)A\left(\frac{5}{2}\right)\dots A\left(\frac{2017}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & x-1 \ 2 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(3))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)) - \det(A(y)) = \det(A(xy)) - \det(A(x)) \det(A(y))$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(1)) + \det(A(2)) + \dots + \det(A(n)) = n(n+1)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \ 0 & 8 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle A^2 - B^2$.

b) Arătați că $\displaystyle (A-I_2) \cdot (B-I_2) = \begin{pmatrix} 0 & 3 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle X \cdot A = A \cdot X$ și $\displaystyle X \cdot B = B \cdot X$, atunci $\displaystyle X \cdot Y = Y \cdot X$, pentru orice $\displaystyle Y \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} -1 & x \ 2 & -3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle A(0)+A(2)=2A(1)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle (A(x)-xI_2)(A(x)+xI_2)=O_2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle B=I_2+aA(1)$ este inversabilă, unde $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & x \\ 4 & 9 & x^2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle A(0)-A(1)$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=(x-2)(x-3)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))\le\det(A(0))$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 2 \\ 2 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2017+x) + A(2017-x) = 2A(2017)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(2) + mA(1)) = 0$.