a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^2+3)}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^{2x}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1 - (x+3)\ln(x+1)}{(x+1)(x+3)^2}$, $\displaystyle x \in (-1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x f(x))$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (e^x f(x)-2)dx = \frac{2}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e \frac{\ln x}{f(x)/(e^x)}dx$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră integral $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n f(x)dx$. Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x-1)^2$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

c) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează orice dreaptă paralelă cu axa $\displaystyle Ox$ în cel mult un punct.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-9}{x^2-9}$.

b) Determinați intervalul de monotonie al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +∞} (x-3)f(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(2x^2-13)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin(x-3)}{f(x)-f(3)}=\frac{1}{30}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact patru soluții reale.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=0$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2x\ln x \le x^2-1$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Pentru $\displaystyle a=0$, arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2x}}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=\sqrt{2}$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, graficul funcției $\displaystyle f$ admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x} dx = \frac{5\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^{2\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x} dx = \frac{5\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f^n(x) dx = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=2021$ este paralelă cu asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+2}{(x^2+2x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle (-\infty,0)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-3x^2(x^3-1)^2}{(x^6+7)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x)-f(y)| \le \frac{7}{7}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle f^{\prime}(x)=-\frac{4 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in(-1,1) \cup(1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul intersectează axa $\displaystyle O y$.

c) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x(f(x)+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle e^x(f(x)+f'(x))=1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{x(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu este surjectivă.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2+1)-2x(e^x-1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătaţi că graficul funcţiei $\displaystyle f$ nu admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) < f\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (x-1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{x-2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2-8 \geq 4e^{2-x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.