a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \left[-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x(x-2)$, pentru $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^3}{x-3}=-3$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(1-x)(1+x)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-7}{x-2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\le 11$, pentru orice $\displaystyle x\in [-1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(4x-1)}{x^2}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=12(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)-4x^3}{x}$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle 3 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \frac{2}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=12x(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{f(x)-4x^3}$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+4)f(x)dx = -\frac{11}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0]$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_1^n x^n f(x)dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = -\infty$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 15$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -13 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, 2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x-2} > \ln \frac{1}{x-1}$, pentru orice $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f^2(x) dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x^2+1} dx = \frac{1}{3}\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 f(x^n) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x \left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-f(x)}{x}$.

c) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = \ln 4$.

b) Se consideră tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(a, \ln(16e))$ este situat pe această tangentă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+3)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 1 - \ln \frac{4}{3} - \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 f^n(x)dx$. Arătați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x+1)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \left(x \cdot \frac{1}{f(x)} - 1\right) dx = \frac{31}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 g(x) dx = \frac{1}{2} \ln \frac{8}{5}$, unde $\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) + \frac{1}{x^2 + 2x + 5}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{-1}^1 x^{2n-1}f(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle [2, +\infty)$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$, $\displaystyle x \in (-1,1) \cup (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Oy$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( f(2)+f(4)+f(6)+...+f(2n) \right)^n$.