a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+3x-2}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2-x+1 \ge e^x f(x)$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(5-x)(x+1)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{10}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -(x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le \frac{f(x)}{(x+2) \sqrt[4]{e^x}} \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, +\infty)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ nu este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x\sqrt{x}+2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty} (x f(x)) = 2$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-2,+\infty)$.

c) Determinați $\displaystyle x \in [-1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle f(x) \in \mathbb{Z}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{(e^x+x)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(1,f(1))$ este paralelă cu asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle g'(x)+g(x)=\frac{1}{e^x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f''(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$, tangentele la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctele $\displaystyle A(a,f(a))$ și $\displaystyle B(-a,f(-a))$ sunt paralele.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - f(-x))$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două asimptote ale graficului funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^{2x}(2x-9)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}$.

c) Arătați că $\displaystyle e^{2x} \le \frac{e^9}{2(5-x)}$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 5)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Se consideră dreapta $\displaystyle d$, asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul lui $\displaystyle f$. Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [0,\sqrt{3}]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2^x \ln 2}{2^x+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{n(x^n-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^n}{x} = 0$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție în intervalul $\displaystyle (0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=6x(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)-x^3+2x^2-x-2}{x-1}=2$.

c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=12x+2020$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2xe^{x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle xe^{x} \ge e^{x}-1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x_0 = 1$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f'$ este crescătoare pe $\displaystyle (1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este $\displaystyle y=24x-103$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3}$.