a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3-8x^2+16x}{f(x)}$.

c) Demonstrați că pentru orice număr real $\displaystyle a, a>0$, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{f(x+a)} - \frac{1}{f(x)} \right)$ nu depinde de $\displaystyle a$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Pentru $\displaystyle m \leq 0$, demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este surjectivă.

a) Arătați că $\displaystyle lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=-3$.

b) Calculați $\displaystyle lim_{x \to ∞} \frac{f(x)}{x+1}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +∞$ la graficul funcției $\displaystyle g: (0, ∞) → ℝ$, $\displaystyle g(x) = \frac{x^2-5x+4}{x}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-2}{x+3}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}} - 1$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{\ln(x+1)} dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{4}$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x)dx$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2 - 3x + 1)}{(x-1)^3}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(0,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(2) + f(3) + \dots + f(n)\right)^{n}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-x(x+2)}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(g(1)+g(2)+...+g(n)) = e-1$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{(x+2)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(2x^2-x+2)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-1}{x(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Demonstrați că ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$ .

c) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu intersectează axa $\displaystyle Ox$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -xe^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{f(n)}{f(n+1)} \right)^n$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale distincte.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_0^x f(t) \, dt$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (f(x))^n \, dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{4(x-1)(x+1)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=n$ are două soluţii reale distincte.

a) Arătați că $\displaystyle f'(5)=6$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)^n$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ are trei soluții reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{e^x+x-1}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=0$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-1)dx = \ln(1+\sqrt{2})$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} xf(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{x} = 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2-x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(1)+f(2)+...+f(n)+2ln n)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x+1)}{\left(x^2+3\right)\sqrt{x^2+3}}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(f(x))^x$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^5+2\sqrt{x^{10}+3}\geq 3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n \left( \frac{3}{2} + f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) \right)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este injectivă.