a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{11}{6}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are exact două puncte de inflexiune.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{t^2} \int_0^t f(x)dx = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2 + 1}}e^x$ este egal cu $\displaystyle \pi$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\int_3^x \frac{f(t)}{t} dt}{x^2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$.

b) Demonstrați că ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că există un singur număr natural nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(mx)}{f(x)} = m^2-m$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=2$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{f(x)}-3}{x-3}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=1+x^3-x^4$. Demonstrați că ecuația $\displaystyle (f+g)(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (0,2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x → 1} \frac{f(x)-5}{x-1} = 3$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(0,9) + f(1,1) \geq 10$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x+1)}{x^2+x+1} + \ln(x^2+x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle (a, f(a))$ care este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y = \frac{1}{7}x+2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 e^x f(x) dx = 2$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle 2-\frac{2}{e}$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^n x^n f(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (n+2)I_n = \frac{1}{e}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{x}dx=\frac{e^2}{3}$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=2x-x^2+f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=e$ are aria egală cu $\displaystyle e^2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \int_{e^{-1}}^{1} x^n(f(x)-x^2\ln x)dx=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 (x^2+9)f(x)dx = 3$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de inflexiune.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^{2n}f(x)dx$. Arătați că $\displaystyle 0 \leq \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 xf(x) dx = 0$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x t f(t) dt$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{5(1-x^2)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(2+x)}{(x^2+4)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+x+3}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \leq (x+3)^2e^x \leq 4e$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=7(2x-1)$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle L = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq \frac{52}{49}$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[-\infty, \frac{1}{7}\right]$ și pentru orice $\displaystyle x \in \left[\frac{1}{7}, \infty\right)$

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$.

b) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$ cu $\displaystyle a_n = f(n)$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$ este mărginit.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(\sqrt{f(n)}-1)$.