Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3-f(x)}{f'(x)}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \ln x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2 (\ln x)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ln x > x-1$, pentru orice $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:( -2, +\infty ) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x-\ln(x+2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x-\frac{1}{x+2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^4 - 2x^2 + 12$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 4x(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{f(x) - x^4} = -\frac{1}{2}$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3-6x+4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le f(x) \le 8$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$, în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - \ln x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-3}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+2x+3}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -2e \le f(x) \le \frac{6}{e^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, +\infty)$.

Se considera funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$, $\displaystyle x \ne 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = e^2+2x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3+2x^2+x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(x+1)(3x+1), x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^3} = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{4}{27}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+1}{x(x+1)^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{(x+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(n)\right)^{2n^3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^3+3x^2-x+a & , x\le 0 \\ \frac{e^{4x}-1}{x^2+x} & , x>0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^3}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in(-6,-3)$, atunci ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin două soluții reale distincte în intervalul $\displaystyle (-3,-1)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+ax+6}{x+1}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle a=7$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care dreapta de ecuație $\displaystyle y=x+2$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$, funcția $\displaystyle f$ nu admite asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} 2mx, & x \in (-\infty, -2) \\ 2-x^2, & x \in [-2, + \infty) \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m=1$, rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle f(x)=0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (f(x)-2x)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+5}{x^2+x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=0$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} ((2x-1)f(x))$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+1 + \frac{1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \text{arctg } x - x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2}{x^2 + 1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) + g(x) = \frac{\pi}{2}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \text{arctg } x + x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x-2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (x-1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -e \le f(x) \le 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{x^2+2x-3}{(x^2+3)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -1 \le f(x) + \frac{1}{2}f'(x) \le \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Notă: Subpunctul c) pare să aibă o eroare în enunț, menționând $\displaystyle y$ când se referă la funcția $\displaystyle f(x)$ și derivata sa $\displaystyle f'(x)$. Vom rezolva conform baremului, care ignoră $\displaystyle y$.