Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2(f(x)+e^x)dx=2$.

b) Demonstraţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=1$ şi $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle e$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n (f(x)+e^x)dx = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^3-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^{3}-2X^{2}-2X+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = -2$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X+1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_2+x_3)(x_3+x_1)(x_1+x_2) = -3$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-3x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x\in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+3x}{x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)\geq -2$, pentru orice $\displaystyle x\in[-1,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln \frac{x+1}{x-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (1,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f'(2)+f'(3)+f'(4)+...+f'(n)) = - \frac{3}{2}$.

a) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 7$. Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6x^2 - 6x(x-1)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2-x-2}{x-2} = 12$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f: x \in [0, +\infty) \rightarrow f(x) \geq 6$, pentru orice $\displaystyle x \in [0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-x^3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(1-x^2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{f(x)} = 0$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-8\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-2)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are două soluții reale distincte.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(4,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{5}^{10} (x-4)f(x)\,dx = \ln 5$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[5,6]\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} n^2 \int_{n}^{n+1} f(x)\,dx = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-11}{x-3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+2)(x-3)-(x^2+2x-11)}{(x-3)^2}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(\pi)>13$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+x^2-x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x^3}=1$.

c) Determinați abcisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta $\displaystyle y=4x+1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x}$ și sirul de numere reale $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle x_n=f(n)$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că șirul $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ este descrescător.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-8x+7}{x-1}, & x<1 \ \sqrt{x^2+4x-4+a}, & x \ge 1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=1$.

c) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{\ln(f(x)-2)}{x-1}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, +\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=\frac{mx^2+4x-m}{x-1}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care dreapta de ecuație $\displaystyle y=3$ este asimptotă orizontală la graficul funcției $\displaystyle g:(1, +\infty) \to \u211D$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-5}{x-2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^2+3x+5}}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1}f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x+1}{x+1}$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa absciselor.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(1) + f(2) + \dots + f(n)\right)^n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e \frac{1-f(x)}{x} dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{x} dx = 1 - \frac{2}{e}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_1^e \frac{f(x)}{x^n} dx = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{2017}{2016} \le f(x) \le 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2016]$.

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{x^2+2x+2} dx$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (x^2+2x+2) dx$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1} = \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n I_n = \frac{1}{5}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-3\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.