Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^{x}(2x-4)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^{x}(2x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2 \cdot f'(x)} = \frac{1}{2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le e^{x-1}(4-2x) \le 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2]$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2+1}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}, \forall x \in \mathbb{R}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(f(x)\right)^{\frac{1}{x}}$.

c) Demonstraţi că pentru orice număr real $\displaystyle a \in (1, \sqrt{2})$ ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale strict pozitive.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(x^2+4)}{(x^2+x+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{3} \leq f(x) \leq \frac{4}{3}$, pentru orice $\displaystyle x$ număr real.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x - ln(x^2 + 1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.

c) Arătați că $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+\ln(x^2+x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x^2+4x+3}{x^2+x+1}$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(f(x+1)-f(x))$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu admite asimptotă spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(\sqrt{7}) < f(\frac{5}{4})$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3}{x^2-3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{12x}{(x^2-3)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$.

b) Determinați asimptota orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=1$ situat pe graficul funcției.