a) Demonstrați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4x-5}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}\setminus\{2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle 11 \le f(x) \le 15$, pentru orice $\displaystyle x \in [3,5]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x((x^2+1)+1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -1$.

c) Determinați valorile funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-(x^2+x-1)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^x$.

c) Să se determine valorile lui $\displaystyle a, a \in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are exact două soluții reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 2$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

b) Determinați asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că pentru $\displaystyle m \in (0, \frac{1}{e})$, ecuația $\displaystyle f(x)=m x^2$ are exact 2 rădăcini reale distincte.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = -3$.

c) Determinați asimptotele oblice ale funcției.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{(x+1)^2\sqrt{x^2+2}}$, $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(f(x))^{5x}$.

c) Arătați că $\displaystyle \sqrt{3(e^{2x}+2)}\geq(e^x+1)\sqrt{2}$, pentru orice $\displaystyle x\in(-1,\infty)$.

a) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) - x$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m > 0$, ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are soluție unică în $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Verificați dacă $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0,1)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{f(x)} - \sqrt{x^2+x}\right)$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x) + 2^x = 0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [-1,0]$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctul de extrem al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^{2x-x^2}$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)+f'(1)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{e^x}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le \frac{4}{e^2}$, $\displaystyle \forall x \in (-\infty, 0)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (3x-x^2) \cdot e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Să se scrie ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele $\displaystyle x \in [0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle f(x)$ este număr întreg.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2-\ln x}{4x\sqrt{x}}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în $\displaystyle x_0 = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \le f(x) \le \frac{1}{e^2}$, $\displaystyle \forall x \ge 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2xe^x - 3e^x + 2}{(e^x - 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} - \{0\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are exact două puncte de extrem.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2x \ln(x-1) + \frac{x^2-4}{x-1}$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 0$, oricare ar fi numărul $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(\frac{1}{e}) = 3e^3$.

b) Determinați ecuația asimptotei către $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați inegalitatea $\displaystyle x^2e^x \le e^x$, $\displaystyle x>0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2-2x-12)}{(x-2)^3}$, pentru $\displaystyle x \in (2,\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(f(x)\right)^{\frac{x^2-2x}{x}}$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale și distincte.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(x^3 + x^2 + 3x + 2)}{(x^2 + 1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.