a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^3}(x+2)$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2-1}=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - f(x)}{f'(x)}$.

c) Arătați că $\displaystyle 5 \le f(x) \le 6$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (-\infty, -2)$.

b) Determinați asimptotele graficului funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) < e^{x^2-1}$, $\displaystyle \forall x \in (-\infty, -2)$.

a) Să se demonstreze că $\displaystyle f'(x) + f(x) = x^2 + 1$, $\displaystyle (\forall) x \in \mathbb{R}$.

b) Să se determine ecuația asimptotei spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Să se demonstreze că $\displaystyle f(x) \ge 1$, $\displaystyle (\forall) x \in \mathbb{R}$.

a) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$ funcția $\displaystyle f$ este convexă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-1}{f'(x)}$.

a) Determinați $\displaystyle \int (x^2-x+1)f(x)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_1^2 x^{n+1}f(x)dx$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln(x-1)-\ln x+1}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ nu are soluții reale pentru niciun număr întreg $\displaystyle m$.

a) Să se calculeze $\displaystyle f'(x)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) - f(-1) = 3$.

c) Să se arate că funcția este crescătoare, oricare ar fi $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

a) Verificați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x+5)}{(x+2)^3}$, $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 4$, pentru orice $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{2}{x^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}^*$.

b) Determinați asimptotele spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle g:(-\infty, 0) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{x^2 \cdot f'(x)}{f(x)}$.

c) Stabiliți intervalul pe care funcția $\displaystyle f$ este strict descrescătoare.

a) Să se calculeze $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{f(x)}$.

b) Să se demonstreze că funcția este crescătoare pe $\displaystyle [0, \infty)$.

c) Să se arate că funcția $\displaystyle f$ nu este surjectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (-\infty, 1)$.

b) Scrieți ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții în intervalul $\displaystyle (-\infty, 1)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F: (0, \infty) \to \mathbb{R}, F(x) = x \operatorname{arctg} x - \frac{1}{2} \ln(x^2+1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_1^x f(t) dt$.

c) Determinați acea primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g$ al cărei grafic conține punctul $\displaystyle A(\sqrt{3}, \ln 2)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle [0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu este surjectivă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{x^2-x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)+f(y) \ge 6$, pentru orice $\displaystyle x, y \in (-1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^4}{x^2+1}\cdot \frac{1}{x^2+3}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x-\frac{x^3}{3} < \operatorname{arctg} x < x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2x^2+1}{x^2+x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x > 0$.

b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d: y = 2x-1$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(1-x)(1+x)}{\left(x^2+1\right)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle -\frac{1}{2}\leq f(x)\leq\frac{1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați extremele funcției $\displaystyle f$.

c) Considerăm șirurile $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ și $\displaystyle (y_n)_{n \ge 1}$ definite astfel: $\displaystyle x_n = f(\sqrt{1}) + f(\sqrt{2}) + f(\sqrt{3}) + \ldots + f(\sqrt{n})$, iar $\displaystyle y_n = f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) + f\left(\frac{2}{\sqrt{n}}\right) + \ldots + f\left(\frac{n}{\sqrt{n}}\right)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$. Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(x_n + y_n + \sin \frac{1}{n}\right)$.