a) Determinați asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3^{\sqrt{5}} < 5^{\sqrt{3}}$.

a) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este funcție convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\int_{1}^{n+1} f(x)dx}{n} = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (1-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x^2e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Aflați ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2+\ln x$, $\displaystyle x \in [1, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

c) Calculați următoarea limită $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f^{-1}(x) \cdot \ln x}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-2x}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle (2x+1)\sqrt{e} \le 2e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că imaginea funcției $\displaystyle f$ este intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctele de extrem local ale funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_{n+1} = f(a_n)$, pentru $\displaystyle n \ge 1$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}$. Studiați convergența șirului $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ și în caz de convergență, calculați limita șirului.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle G_1$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x F(x)$ cu proprietatea că graficul lui $\displaystyle G_1$ conține punctul $\displaystyle A(1, -\frac{\pi}{4})$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{G(x)}{x^2}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x), x \in (-1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \le x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)+x^2f(x)}{x^4+1}dx = \frac{\pi}{8}$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} \int_1^x f(t)dt$.

a) Studiați existența asimptotelor verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle P(x_0, f(x_0))$, care este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$, de ecuație $\displaystyle x-4y+2023=0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(1+\sqrt{1+n^2}) \leq \sqrt{1+n^2}$, oricare ar fi $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că graficul funcției $\displaystyle f$ admite $\displaystyle 2$ puncte de extrem $\displaystyle x_1, f(x_1)$ și $\displaystyle x_2, f(x_2)$ și calculați $\displaystyle f(x_1) + f(x_2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle \forall x \in (-1,\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \ge \frac{x}{x+1}$, $\displaystyle \forall x \in (-1,\infty)$.

a) Arătați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=x-1$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$ spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x_0=1$.

b) Stabiliți dacă $\displaystyle f$ este derivabilă în punctul $\displaystyle x_0=1$.

c) Arătați că $\displaystyle f$ este descrescătoare.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x)}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^x$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$, $\displaystyle f(x) \ge 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2-x+2)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x+1) - f(x))$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f^2(x) dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = xf(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x t \cdot f(t) dt$.