a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x-1)(x-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+3x}{\ln x} = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) \le -\frac{21}{4}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,1]$ și orice $\displaystyle y \in [1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3 - \ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0, + \infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 3$.

c) Determinați cel mai mare număr întreg $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{9}{(x+4)^2}$, $\displaystyle x \in (-\infty, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (-\infty, +\infty)$, știind că panta tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a, f(a))$ este egală cu $\displaystyle 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4}{x(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x) = n$ nu are soluții.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)-f(y) \le \frac{3-e}{3e}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, cu $\displaystyle x \le 0 \le y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)+\ln x - 4}{x^2-3x-3} = \frac{4}{3}$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{4x^2-1}{x} \ge \ln(2x)$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-(x^2-2x))dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{f(x)-x^2+2x}dx=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x F(t)dt = \frac{1}{2}$, unde $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^{x^2}(x^2 + 3x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} + f(x)}{x^2 - 4x} = \frac{1}{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x^2}(x^2 + x - 1) \le 5$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 0]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{2(x+2)}{(x^2+4x+5)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x^2-1)f(x)=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5f(x)+f'(x)\le 2$, pentru orice $\displaystyle x\in[0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2-1)(x^2+20)}{(x^2+1)^3}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact trei soluții.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 xf(x) \text{d}x = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_e^{e^2} \frac{f(x)}{x} \text{d}x = \text{ln} 2$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{1}{(x-2)F^2(x)} \int_2^x (t-2)F(t) \text{d}t = \frac{\text{ln} 2}{4}$, unde $\displaystyle F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(2)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(2x^2+x-3),$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x}.$

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=a$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, are panta egală cu $\displaystyle 0.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (2,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-3\ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \ge 1 - \frac{1}{x}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3x^2-x-2}{2x\sqrt{x}}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x}\cdot f'(x)}{5x-5}=\frac{2}{5}$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(3-x)(2-x)}{(x^2+6)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x \cdot f(x)) = 2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=a$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, are panta egală cu $\displaystyle 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^{x^2-x}(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \sqrt{e}$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=mx$ are exact două soluții.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x-1)(4x+3)}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x+3)-f(x)}{x-1} = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x^2} \ge \frac{4\ln x+3}{x^2+3}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \operatorname{arctg} x - \frac{x}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Fie funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f'(x)$. Determinați imaginea funcției $\displaystyle g$.