a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\ln y}{y^2} < \frac{\ln x}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x,y \in (1, +\infty)$ cu $\displaystyle x < y$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)e^x - e^x}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)+3\ln x}{x+1}=1$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle x^2+x-2 \le 3 \ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{8}{(x-4)^{2}}$, $\displaystyle x\in(4,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:(4,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)+x$ este crescătoare.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2(x-1)(e^x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x} = 4$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are exact două soluții.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2\left(4-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)-f(4-x) \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in [4,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x}+1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2e^{2x}(x^2+x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 (f(x)-6x^2)dx = \frac{12}{5}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{x^3}{f(x)-1}dx = \frac{\ln 6}{2}$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3}\int_0^x (f(2t)-f(t))dt = 6$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}, x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}$, $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact două soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (27, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x+6}{x^3}$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(f(x)-\ln x)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle 4f(x)-1\ge \ln 16$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x f(x)=1$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x^2-2x-3)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{e^x}{x-2} \ge 3$ pentru orice $\displaystyle x \in (2,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-3\ln x}{x^4}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{5(x-1)(x+1)}{2x \sqrt{x}}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{\frac{x+ \sqrt{x}}{2}} = \frac{5}{2}$.

c) Arătați că $\displaystyle f'(x) \leq 26$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x+1)}{x(x+2)}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x^2-x+2}{(x^2+x+2)^2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(a,f(a))$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2-5x+2}{\sqrt{x^2+2}}$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-8x^3}{x^2-5x} = 1$.