a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4x^2+1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-\ln x}{x^2+x+4} = 2$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+5x-4}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că axa $\displaystyle Ox$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=n$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(4x+5)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)+5 \ln x}{x-2} = -2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 2x^2+x+\frac{5}{x} \ge 3 \ln x$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x(x-6)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^3 - 9x^2 + f(x) - f(1)} = -\frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x\sqrt{x}}=10$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6x^2(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+3x^2}{x^3+4} = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -32 \le 2x^3 - 3x^2 + \frac{1}{16}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=m$ are exact două soluții.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(1+e^{-x})f(x)dx=8+e^3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-m}^m \frac{f(x)}{x^2+e^x}dx=m$, pentru orice $\displaystyle m\in(0,+\infty)$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{e^{ax}-1} \int_0^x f(t)dt \right)=1$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}$, $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(x)-x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ pentru orice $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2+2x-15}{(x-1)(x+3)}$, $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați în $\displaystyle (1,\infty)$ că $\displaystyle \frac{x+3}{3(x-1)} \ge 1-\frac{x}{3}$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)e^x dx = \frac{2}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x+2} dx = \frac{e-2}{e}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^3} \int_0^x f(t) dt \right) = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(2-x)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle |f(x) - f(y)| \le 1$, pentru orice $\displaystyle x,y \in [1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x^2 + 4x - 5)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x f'(x)}{f''(x)} = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3e^x(x^2-x)}{(x^2+x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = +\infty$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are exact trei soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (e, 3)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3x(x-4)}{(x^2+x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x)+f(x^2) \ge \frac{17}{3}$ pentru orice $\displaystyle x \in (1,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(e^x-1)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = mx + n$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^3+8)f(x)dx=8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^4 \frac{1}{x}f(x)dx=4\ln 2$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^3} \int_0^x t \cdot f(t)dt \right)$.