a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+5)}{(x+3)^2}$, $\displaystyle x \in (-3, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2+f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (-3, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(1-x)}{(x^2-2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{e^x-e}$.

c) Arătați că $\displaystyle (2-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3}{(x+5)^2}$, $\displaystyle x \in (-5, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=3x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}, x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2f(x)}{x-1} = -1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3x^2-x-2$, pentru $\displaystyle x \in \u211D$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{e^x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{21}{2}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(e^{2x}+2-2e^{2x})}{(e^{2x}+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un unic punct de extrem.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x^2+4x+5} dx = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f^2(x)-4) dx = 4\ln 2$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle 0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_a^b f^n(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\to\infty} I_n = +\infty$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+3)f(x)dx=2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 g(x)dx = \ln \frac{9}{5}$, unde $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{2x+1}{x} \cdot f(x)$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle 0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_a^b (f''(x))^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2+4x-f(x)}{x+1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2+4x+\frac{1}{2} \geq \frac{15}{4}\ln(2x+4)$, pentru orice $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{24(2x^2-1)}{(2x^2+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (xf(x)\ln x) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(x^2-1)}{x}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) = 0$ are exact două soluții distincte în intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(3x+1)^{2}}$, $\displaystyle x \in \left(-\frac{1}{3},+\infty\right)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(x^2-4)+2x(x^2-9)$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x) dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)} \cdot e^x = e^{-2}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{e^{-x}}-1$ are un singur punct de extrem.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(e^x-1)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=0$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\le f(x^2)$, pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,0]$.