a) Calculați $\displaystyle x o 8$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x o x = 1$. Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+2x+3$. Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x - \frac{1}{10})(y - \frac{1}{10}) + \frac{1}{10}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = \frac{101}{10}$.

c) Calculați $\displaystyle \log_2 1 * \log_2 2 * \log_2 3 * \dots * \log_2 2018$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*2=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1*2*3* \dots * 2018$.

a) Arătați că $\displaystyle M(1)+M(3)=2M(2)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(m) \cdot M(n)=M(m+n-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle M(x) \cdot M(x)=M(x^2-1)$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x\circ y=(x+\hat{3})(y+\hat{3})$, pentru orice $\displaystyle x, y\in Z_{20}$.

b) Determinați $\displaystyle a\in Z_{20}$, știind că $\displaystyle a\circ x=\hat{0}$ pentru orice $\displaystyle x\in Z_{20}$.

c) Dați exemplu de $\displaystyle a,b\in Z_{20}\setminus\{\hat{17}\}$ pentru care $\displaystyle a\circ b=\hat{0}$.