Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 4xy-4x-4y+5$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 4(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle N=2016 \circ 2017$ este pătratul unui număr natural.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle a \circ b=13$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2xy + 6x + 6y + 15$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = 2(x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle 7 \ast 8 = 98 \ast 2017$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \ast x = 2$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = (0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x^{2 \log_2 y}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \circ 9 = 16$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ 3 = 25$.

c) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle x * \left(-\frac{2}{3}\right) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * (n-1) < 17$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 4xy + 3x + 3y + \frac{3}{2}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right) - \frac{3}{4}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = -\frac{3}{4}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, ştiind că $\displaystyle f(x) * f(y) = f(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$, unde $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=ae^x-\frac{3}{4}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 5xy + 15x + 15y + 42$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 5(x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle x \circ y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-3) \circ (x-3) \circ (x-3) = 197$.

Pe mulțimea numerelor reale $\displaystyle M = \mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 9(x+y) + 90$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-9)(y-9) + 9$ pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție ,

• ".

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n \in \mathbb{N}$, $\displaystyle n \ge 9$ sau $\displaystyle n \le 10$ pentru care $\displaystyle (n-8)(n-9) < 0$ și $\displaystyle (n-10)(n-8) < 0$.

Notă: Enunțul subpunctului c) pare a fi o reformulare sau o problemă separată de legea de compoziție, calculând inegalități cu variabile numerice. Vom rezolva conform baremului, care pare să interpreteze problema ca fiind legată de legea de compoziție.