a) Arătați că $\displaystyle x * y = -2(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 5$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle m * n = 27$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-2)=-2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \circ \frac{1}{x} = x$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 1 * 2 * 3 * \dots * 2016$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, știind că $\displaystyle a<b<c$ și $\displaystyle a*b*c = 66$.

a) Calculați $\displaystyle 1 \circ \frac{1}{3}$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Calculați $\displaystyle \frac{1}{1008} \circ \frac{2}{1008} \circ \frac{3}{1008} \circ \dots \circ \frac{2016}{1008}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 0 * 1 * 2 * 3$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle a * a * 2016 = 2016$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = -3(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle (x * x) * x = 12$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x+7)(y+7)-7$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle 2017^a \circ (-6) = 1$.