Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = -3xy+9x+9y-24$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = -3(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \ast$” este asociativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle (x \ast x) \ast x = 12$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = -xy+2x+2y-2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = -(x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \ast x = 1$.

c) Determinați $\displaystyle n, p \in \mathbb{N}$ astfel încât $\displaystyle n \ast n \ast n \ast n = 2$, produsul numerelor $\displaystyle n, m$ și $\displaystyle p$ este divizibil cu $\displaystyle 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*(-3)=-3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y=\frac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x*x^{-1}=3$, unde $\displaystyle x^{-1}$ este elementul simetric al lui $\displaystyle x$ în raport cu legea de compoziție $\displaystyle *$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+3$. Demonstrați că $\displaystyle (f(x) \circ f(y)) = f(x \circ y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a \circ a \circ a = 3^{2015}-1$.