a) Arătați că $\displaystyle (-3) \circ (-2) = -1$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = \frac{1}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x+1)(y+1) + 3$, oricare ar fi numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Aflați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle x * x = 3$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * n \leq 7$.

a) Să se verifice dacă $\displaystyle 3 \ast 6 = 2$.

b) Să se demonstreze că legea "$\displaystyle \ast$" este asociativă.

c) Să se determine numerele naturale nenule $\displaystyle m, n \in \mathbb{N}^*$ pentru care $\displaystyle (m \ast m) \ast (n \ast n) = 2$.

a) Arătaţi că $\displaystyle x \circ y = 2(x-1)(y-1) + 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziţie „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a \circ a \circ a = a$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ y=\frac{1}{10}(x-10)(y-10)+10$, pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x\circ x=\frac{101}{10}$.

c) Arătați că expresia $\displaystyle E(n)=\sqrt{1}\circ\sqrt{2}\circ\sqrt{3}\circ\ldots\circ\sqrt{n}$ este constantă, pentru orice număr natural $\displaystyle n\geq 2026$.

a) Verificați dacă $\displaystyle 2 \circ 1 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ (x+1) = 1$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a, b, c$ astfel încât $\displaystyle a+b+c = \frac{3}{2}$. Știind că $\displaystyle c = a \circ b$, arătați că $\displaystyle a+b+c = 1 + ab + bc + ca - abc$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-3) = -1$.

b) Demonstrați că legea „$\displaystyle \circ$” este asociativă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ care verifică egalitatea $\displaystyle x \circ x = x$.