a) Arătați că legea „$\displaystyle \ast$” nu este asociativă.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle (x+1) \ast x \le x \ast (x+1)+x$.

c) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x \ast (-y) = -2xy \\ x \ast 1 = 2 \end{cases}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2026 \circ 1 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e = 2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați simetricul lui $\displaystyle 4$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

a) Arătați că $\displaystyle x*y \in M$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle „*”$.

c) Determinați numerele $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x*x*x = 2x$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$, pentru orice numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementele simetrizabile ale mulțimii $\displaystyle \mathbb{Z}$ în raport cu legea „$\displaystyle *$”.

c) Calculați $\displaystyle (-2026) * (-2025) * ... * 2025 * 2026$.

a) Arătați că $\displaystyle 4 * 5 = 11$.

b) Determinați numerele naturale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 5 \le 9$.

c) Arătați că $\displaystyle x * x \ge -3$, pentru orice $\displaystyle x$ real.

a) Să se arate că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

b) Să se determine elementul neutru al lui $\displaystyle R$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Să se calculeze $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3} * \dots * \frac{1}{2022} * \frac{1}{2023}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle x * (-x)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Cercetaţi dacă legea $\displaystyle *$ este asociativă.

c) Cercetaţi dacă legea $\displaystyle *$ admite element neutru şi, în cazul în care există, determinaţi elementele simetrizabile.