Pe mulțimea $\displaystyle M=[2, \infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \sqrt{x^2+y^2-4}$.

a) Arătați că $\displaystyle e=2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

b) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați numărul $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle \sqrt{x} \ast \sqrt[3]{x} = 4$.

Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{R}$ se consideră legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2xy - 4x - 4y + 10$, $\displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 1 = 0$.

b) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle x \ast 1 = 0$.

c) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle x \ast x = 14$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[1, \infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = x+y-(x-1)(y-1)^2$.

a) Arătați că $\displaystyle 4 \circ 5 = 6$.

b) Să se arate că $\displaystyle x=1$ este singurul element simetrizabil în raport cu legea "$\displaystyle \circ$".

c) Dați exemplu de două numere naturale nenule $\displaystyle a, b$ pentru care $\displaystyle a \circ b = 1 + \sqrt{2026}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = 2xy - 6x - 6y + 21$.

a) Să se arate că $\displaystyle x \circ y = 2(x-3)(y-3) + 3$.

b) Calculați $\displaystyle 1 \circ 2 \circ 3 \circ 4 \circ \dots \circ 2026$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (a, b)$ de numere întregi astfel încât $\displaystyle a \circ b = 7$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=xy-3x-3y+12$.

a) Arătați că $\displaystyle 1\circ 3=3$.

b) Verificați dacă $\displaystyle e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (n-3)\circ(n+3)\leq -2$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = (0, 1)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \frac{xy}{2xy - x - y + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \frac{1}{3} * \frac{1}{6} = \frac{1}{11}$.

b) Arătați că $\displaystyle e = \frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x * x * x = \frac{1}{9}$.

Fie $\displaystyle M$ un număr real. Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{R}$ se consideră legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x \cdot y + x + y + 1$, oricare ar fi $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

a) Dacă $\displaystyle m = -1$, arătați că $\displaystyle 2026 \circ 2025 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ știind că legea de compoziție este asociativă.

c) Pentru $\displaystyle m = 2$ rezolvați, în mulțimea numerelor reale, inecuația $\displaystyle 2^x \circ 4^x \ge 4$.

Pe mulțimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $\displaystyle x*y = a(x+a)(y+a)-a$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle a*(-a)=-a$.

b) Demonstrați că $\displaystyle 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$