a) Arătați că legea de compoziție admite elementru neutru $\displaystyle e = 1$.

b) Determinați elementele simetrizabile din $\displaystyle \mathbb{R}$ în raport cu $\displaystyle x \circ y$.

c) Calculați $\displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{1}} \circ \frac{1}{\sqrt{2}} \circ \frac{1}{\sqrt{3}} \circ \dots \circ \frac{1}{\sqrt{2026}}$.

a) Verificați dacă $\displaystyle e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție.

b) Arătați că $\displaystyle x*y\in G$, oricare ar fi $\displaystyle x,y\in G$.

c) Știind că legea de compoziție „$\displaystyle *$” determină o structură de grup pe mulțimea $\displaystyle G$, determinați numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ pentru care funcția $\displaystyle f:G\to(0,+\infty)$, $\displaystyle f(x)=\frac{a}{x}-b$, este izomorfism de grupuri între $\displaystyle (G,*)$ și $\displaystyle ((0,+\infty),\cdot)$.

a) Arătați că legea de compoziție admite element neutru oricare ar fi $\displaystyle a>0$.

b) Arătați că $\displaystyle G = \left(-\frac{1}{a}, +\infty\right)$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{R}$ în raport cu operația "$\displaystyle \circ$".

c) Pentru $\displaystyle a=3$ determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = 21$.

a) Verificați dacă $\displaystyle x * y = (x+1)(y+1)-1$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

b) Dacă $\displaystyle x \in M$ și $\displaystyle x' \in M$, atunci demonstrați că există $\displaystyle x' \in M$ și $\displaystyle x \ne -1$, astfel încât $\displaystyle x*x' = 0$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2025 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e=17$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Demonstrați că funcția bijectivă $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\log_2 (x-1)-4$ verifică relația $\displaystyle f(x \circ y) = f(x) + f(y)$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 1 \circ 2 \circ 3 \circ \dots \circ 2026$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, știind că $\displaystyle a<b<c$ și $\displaystyle a \circ b \circ c = 66$.