a) Arătați că $\displaystyle 3*5=7$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Fie funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to (1, +\infty)$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x \cdot y) = f(x) * f(y)$, oricare ar fi $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 * 4 = 0$.

b) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle x * a = a * x = a$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Știind că legea "*" este asociativă, calculați $\displaystyle \frac{1}{2026} * \frac{2}{2026} * \dots * \frac{6202}{2026}$.

a) Arătați că $\displaystyle 6 \circ 1 = 5$.

b) Arătați că $\displaystyle e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m \circ (2 - m) < 3$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4)) = -27$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y-xy)$ pentru orice $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle A(2) \cdot A(3) \cdot A(4) \dots A(2026)$.

a) Rezolvați ecuația $\displaystyle (x+1) \circ x = 9, x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că legea $\displaystyle \circ$ nu este asociativă.

c) Dați exemplu de două numere $\displaystyle a, b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ astfel încât $\displaystyle a \circ b \in \mathbb{Z}$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3) \ast 2 = 2$.

b) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle (m + 4) \ast (m - \frac{3}{2}) = -4$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \ast x \ast x = 23$.

a) Calculați $\displaystyle 10*(-8)$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x*x = 2026$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*(-n) \le 20$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 3(x+\frac{4}{3})(y+\frac{4}{3}) - \frac{4}{3}$ pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că mulțimea $\displaystyle H = [-\frac{4}{3}, \infty)$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{R}$ în raport cu ,,$\displaystyle \circ$''

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x \circ x = y \circ y$ și $\displaystyle x, y \in H$, atunci $\displaystyle x=y$.