a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 2 = 4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 2$.

c) Determinați numărul întreg ne nul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m \ast \left(1 + \frac{1}{m}\right) = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (0 \circ 2) = 12$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \circ (-x) = 3$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, pentru care $\displaystyle m \circ n = -mn$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*4 = 1$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție.

c) Aflați $\displaystyle x \in M$ cu proprietatea că $\displaystyle x*x*x=x$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y=2(x-5)(y-5)+5$, pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ numere reale.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m*n=11$.

a) Demonstrați că dacă $\displaystyle A,B\in G$, atunci $\displaystyle A\cdot B\in G$.

b) Aflați două matrice $\displaystyle C,D\in G$ cu proprietatea $\displaystyle C\cdot D\neq D\cdot C$.

c) Arătați că orice matrice din $\displaystyle G$ este simetrizabilă în raport cu înmulțirea matricelor.

a) Demonstrați că legea de compoziție este asociativă.

b) Arătați că $\displaystyle f(x * y) = f(x) \cdot f(y)$, oricare ar fi $\displaystyle x, y \in G$.

c) Demonstrați că dacă $\displaystyle x, y \in G$ și $\displaystyle x * y \in \mathbb{Z}$, atunci $\displaystyle y=-x$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 1 = -7$.

b) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (2n) \circ n < 45$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x^2-9) \circ (x^2-10) = 16$.

a) Arătați că $\displaystyle a*(-a) = -a$.

b) Demonstrați că 0 este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea „$\displaystyle \ast$”.

a) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R}$ ecuația $\displaystyle x*x = 2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ astfel încât $\displaystyle x*m*x = m$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Știind că legea $\displaystyle „*”$ este asociativă, calculați $\displaystyle \frac{1}{2} * \frac{2}{3} * \frac{2026}{2026} * \dots * \frac{2026}{2026}$.