Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $\displaystyle x*y=xy-5x-5y+30$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y=(x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție „*”.

c) Calculați $\displaystyle d_1*d_2*...*d_n$, unde $\displaystyle d_1, d_2, ..., d_n$ sunt divizorii naturali ai lui 2015.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x ∘ y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x ∘ y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că $\displaystyle a ∘ b = 2$.

c) Calculați $\displaystyle (-1) ∘ 0 ∘ 1 ∘ ... ∘ 2015$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = xy + 2x + 2y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = (x+2)(y+2) - 2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle (-2015) \ast (-2) \ast 0 \ast 2 \ast 2015$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, știind că numărul $\displaystyle n \ast (-n)$ este natural.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 3xy + 3x + 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 3(x+1)(y+1)-1$.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere întregi, știind că $\displaystyle a \circ b = 8$.