a) Arătați că $\displaystyle 4 \circ 4 = 4$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$” definită pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \circ x \ge 4$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 0 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (-x) = 3$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m \ast n = -mn$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle 1\circ 3=11$.

b) Să se determine numărul real $\displaystyle a$ știind că legea admite element neutru.

c) Să se arate că, dacă intervalul $\displaystyle [0,6]$ este parte stabilă a lui $\displaystyle \mathbb{R}$ în raport cu legea „$\displaystyle \circ$”, atunci $\displaystyle a\in\left[\frac{1}{6},\frac{1}{3}\right]$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ pentru care $\displaystyle 1 * 2 = 11$ și $\displaystyle (-1) * 4 = 5$.

b) Pentru $\displaystyle a=-3, b=18$ arătați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3)+9$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ pentru care legea "$\displaystyle *$" admite element neutru.

a) Arătați că $\displaystyle \frac{1}{3}*3=3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle e=2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați valorile numărului natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (n-1)*n>-3$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = \frac{1}{2}\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)+4}$, $\displaystyle \forall x,y \in (1, \infty)$.

b) Determinați elementele simetrizabile din $\displaystyle G$ în raport cu legea „$\displaystyle \ast$”.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to (1, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{2x+1}$ este bijectivă și $\displaystyle f(x \cdot y) = f(x) \ast f(y)$, $\displaystyle \forall x,y \in (0, \infty)$.