a) Calculați $\displaystyle \sqrt{2} \circ 2$.

b) Determinați elementele simetrizabile ale lui $\displaystyle \mathbb{R}$ raport cu legea „$\displaystyle \circ$”.

c) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația $\displaystyle x \circ x \circ \dots \circ x = 1025$, unde $\displaystyle x$ apare de $\displaystyle 10$ ori.

a) Arătați că $\displaystyle i \circ (-i+(y+i)-i)$, pentru orice numere complexe $\displaystyle x, y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați perechea de numere reale $\displaystyle (a,b)$, știind că $\displaystyle i^2 \circ i^2 \circ \dots \circ i^{2024} = a+bi$.

a) Calculați $\displaystyle 1 \circ (-2024)$.

b) Arătați că $\displaystyle e=3$ este elementul neutru.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x-1} \circ 2^{x+1} = 4$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ astfel încât $\displaystyle \underbrace{x*x*\dots*x}_{de 2023 ori x}=3$.

a) Aflați numărul rațional $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x*a=a$, $\displaystyle \forall x\in\mathbb{Q}$.

b) Dați exemplu de două numere raționale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ care nu sunt numere întregi și pentru care $\displaystyle x*y$ este număr întreg.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$, $\displaystyle f(x)=5x-15$, are proprietatea $\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)*f(y)$, $\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{Q}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{3} = \frac{4}{5}$.

b) Se consideră funcția injectivă $\displaystyle f: G \to (0, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \frac{2+x}{2-x}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x*y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in G$.

c) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3} * \dots * \frac{1}{30} = \frac{60}{31}$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 2 = -3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-1)(y-1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m \circ n = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(m+n+mn)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m, n, p$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) \cdot A(p) = A(0)$, atunci $\displaystyle (1+m)(1+n)(1+p)=1$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = \log_3 ((3^x-3)(3^y-3)+3)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle 2\circ(-3)=-3$.

b) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$” este $\displaystyle e=0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ(x-3)\ge -3$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * (-2) = 13$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție '$\displaystyle *$'.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle (n+2) * (n-1) \le 3$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast (-1) = 2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 8$.

c) Arătați că $\displaystyle (1 - x) \ast x < 5$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Să se verifice dacă $\displaystyle 2 \ast (-2) = 0$.

b) Să se rezolve ecuația $\displaystyle x \ast \frac{1}{x} = 2$.

c) Să se demonstreze că $\displaystyle x \ast \frac{2}{x} > 4$, $\displaystyle (\forall) x \in (0, +\infty)$.

a) Demonstrați că $\displaystyle \bar{3}$ este element neutru al legii de compoziție.

b) Rezolvați în mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ ecuația $\displaystyle x \circ x = x$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\displaystyle f(x)=x \circ \bar{1}$ este bijectivă.

a) Calculați $\displaystyle (-3)*2$.

b) Să se arate că $\displaystyle x*y = 2(x+3)(y+3) - 3$.

c) Să se determine numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x*x*x = 29$.

a) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că $\displaystyle 3*4=7$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle 2*1=0$, atunci $\displaystyle 1*2=1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că legea de compoziție admite element neutru.