a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A((x-3)(y-3)+3)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle abc$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) \cdot A(c) = A(8)$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-1) = 2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x \le 5$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt[3]{1} * \sqrt[3]{2} * \dots * \sqrt[3]{2023}$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-3) = 18$.

b) Arătați că $\displaystyle x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^x * 4^x = 4$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a * a * a = a$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^x * 9^x * 27^x = 3$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = 3(x - 1)(y - 1) + 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle \frac{1}{2} \ast \frac{2}{3} \ast \frac{3}{4} \ast \ldots \ast \frac{2023}{2024}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ care sunt egale cu simetricul lor față de legea $\displaystyle \ast$.

a) Arătați că $\displaystyle (2+i) \ast (2-i) = 9$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$, numărul $\displaystyle A = (-1+a i) \ast (-1-a i)$ este real strict mai mic decât 0.

c) Determinați numerele complexe $\displaystyle z$ pentru care $\displaystyle z \ast z = -5$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 5(x-6)(y-6)+6$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$;

b) Determinați un element $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x \circ a = x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$;

c) Dacă $\displaystyle d_1, d_2, ..., d_n$ sunt divizorii întregi ai numărului $\displaystyle 2022$ calculați $\displaystyle d_1 \circ d_2 \circ ... \circ d_n$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2-5(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle a * a = b * b$, unde $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ cu $\displaystyle a \neq b$, atunci $\displaystyle a+b=\frac{9}{5}$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle m$, știind că funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=mx^2+2$ verifică relația $\displaystyle f(x*y)=f(x)f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle \sqrt{3} \circ \sqrt{5} = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x^2-3)(y^2-3) + 3$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m \circ n = 4$.