a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 3 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast 5 = 10$.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care numărul $\displaystyle N = \frac{n \ast (3+n)}{n}$ este natural.

a) Arătați că $\displaystyle 1\circ 1=2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ (2x)=1$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m\circ n=m$.

a) Pentru $\displaystyle m=3$, arătați că $\displaystyle 0*1=3$.

b) Pentru $\displaystyle m=7$, determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x = 5$.

c) Determinați $\displaystyle m \in [-4, \infty)$ pentru care legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

a) Arătați că $\displaystyle 7 \circ 8 = 6$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x \circ 10$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ne 5$, ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” sunt numere naturale pare.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 5 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (a \ast x) = (a-x)(a+x)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-6)(y-6)+6$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (x, x')$ unde $\displaystyle x'$ este simetricul lui $\displaystyle x$ în raport cu legea „$\displaystyle \circ$” .

c) Calculați $\displaystyle \frac{2022}{1} \circ \frac{2022}{2} \circ \frac{2022}{3} \circ ... \circ \frac{2022}{2022}$.

a) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție este $\displaystyle 2-i$.

b) Determinați simetricul elementului $\displaystyle z = 4+i$.

c) Demonstrați că mulțimea $\displaystyle H = \{z \in \mathbb{C} \mid \left| z-i \right| = 1\}$ este parte stabilă a mulțimii numerelor complexe în raport cu legea de compoziție dată.