Arătați că $\displaystyle x*y=(x-9)(y-9)+9$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle e=10$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

Determinați simetricul numărului $\displaystyle \frac{26}{3}$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

Calculați $\displaystyle 3^0*3^1*3^2*3^3*3^4$.

Determinați numerele naturale de forma $\displaystyle \overline{ab}$ pentru care $\displaystyle a*b=12$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=xy+x+y+10$. 1. Arătați că $\displaystyle 2*5=27$.

2. Arătați că $\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)+9$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (-10)*x=10*x$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*(-x)=1$.

5. Determinați $\displaystyle x\in[0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle (x-9)*(\sqrt{x}-9)=9$.

6. Arătați că, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, divizibil cu 3, numărul natural $\displaystyle (n+1)*(n+2)$ este divizibil cu 3.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y=x+y-\frac{xy}{6}+1$. Calculați $\displaystyle 2 \circ 3$.

Arătați că $\displaystyle x \circ y = 7-\frac{1}{6}(x-6)(y-6)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 4$.

Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle m \circ n = \frac{1}{6}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (0 \circ x) \circ (x+1) = 1$.