Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy + 2x + 2y - 2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 1 = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 2 = x$.

c) Arătați că $\displaystyle (1-x) * x \le 2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y=x^2y^2-4(x+y)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ 1=-3$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ 1 \leq 2x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, cu $\displaystyle m \leq n$, pentru care $\displaystyle m \circ n=1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy-x-y+4$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 3 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 3x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle x \circ a = x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[-1,1]$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = \frac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle x*(-x) \ge -x^2$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere din mulțimea $\displaystyle M$ pentru care $\displaystyle a*b=1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy+x+y-1+2^{xy}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 2 = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n \ast \frac{1}{n}=0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 4xy - 3x - 3y + 2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 2 = 8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * (-1)=4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x * a = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = [3, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy - 3x - 3y + 12$, unde $\displaystyle x, y \in M$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ 5 = 3$, pentru orice $\displaystyle m \in (0, +\infty)$.

b) Pentru $\displaystyle m=2$, arătați că $\displaystyle e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f : M \to M$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x-3}+3$. Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle f(x \circ y) = f(x) \circ f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x \ast y=xy+x+y-xy$.

a) Arătaţi că $\displaystyle 1 \ast 3 = 3$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast 2 = -x^2$.

c) Determinaţi numărul întreg nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{2m} \ast m = m$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y=2xy-3(x+y)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1\circ 0=-2$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ(-2x)\geq 0$.