Pe mulțimea $\displaystyle M = [1, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy - \sqrt{(x-1)(y-1)}$.

a) Arătați că $\displaystyle e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$ ".

b) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 5 - \sqrt{4} = 8$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (nx) \ast y \ge x(n \ast y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$ și orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = (x+y)(x-1)(y-1)+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*1=1$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*(n-1) \geq n^2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy + (2^x-2)(2^y-2)$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ 3 = 18$.

b) Arătați că $\displaystyle e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \circ (-x) \le 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x^2 - 4xy + 3y^2$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ 2 = 12$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \circ x = -1$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, cu $\displaystyle m < n$, pentru care $\displaystyle m \circ n = 3$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = (x-4)(y-4) + 4$.

a) Arătați că $\displaystyle 5 * 4 = 4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 6 = 6$.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * n \ge \frac{n}{4}$.